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扑克牌游戏与机率(二)

时间:2020-07-11      浏览:462

连结:扑克牌游戏与机率(一) 

〈扑克牌游戏与机率(一)〉一文中,介绍了扑克牌游戏─梭哈─的前五种牌型之组合数与出现机率,接下来,本文继续介绍如何求得其它四种牌型的组合数与机率。最后,表列出各类牌型对应的组合数与机率之实际计算结果,并作一简单讨论与说明。

6. 三条(three of a kind

所谓的三条指的是 \(5\) 张牌当中,有三张数字相同,另两张则都不相同。

例如:\(AAAKQ\)、\(99962\)、\(777Q8\) 等皆是,亦即其牌型为 \(aaabc\)。

我们可以利用下述方式计算出其组合数:先从 \(13\) 个数字中选出 \(1\)个作为 \(a\),

再从其它 \(12\) 个数字中选出 \(2\) 个作为 \(b\) 与 \(c\)(这里请注意,\(bc\)不需考虑顺序,直接一次选取即可。否则若依序选完 \(a\),再选 \(b\),再选 \(c\) 会发生重複的情况,例如 \(AAAKQ\) 与 \(AAAQK\))。

接着,从 \(4\) 种花色的数字 \(a\) 恰选三张:\(C_3^{4}\),从 \(4\) 种花色的数字 \(b\) 恰选一张:\(C_1^{4}\),

最后,从 \(4\) 种花色的数字 \(c\) 恰选一张:\(C_1^{4}\)。

如此,利用乘法原理可计算出所有的三条共有:\(C_1^{13}C_2^{12}C_3^{4}C_1^{4}C_1^{4}=54,912\) 种。

其出现的机率为:\(\displaystyle\frac{C_1^{13}C_2^{12}C_3^{4}C_1^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。此值约为 \(0.02113\)。

7. 两对(two pairs

所谓的两对指的是 \(5\) 张牌当中,包含两组各两张的相同数字,另一张则不同。

例如:\(AAKKQ\)、\(99662\)、\(QQ778\) 等皆是,亦即其牌型为 \(aabbc\)。

我们可以利用下述的方式计算出其组合数:先从 \(13\) 个数字中选出 \(2\) 个数字作为 \(a\) 与 \(b\),

再从其它 \(11\) 个数字中选出 \(1\) 个作为 \(c\)(这里请注意,\(ab\) 不需考虑顺序,直接一次选取即可。否则若依序选完 \(a\),再选 \(b\),再选 \(c\) 会发生重複的情况,例如 \(AAKKQ\) 与 \(KKAAQ\))。

接着,从 \(4\) 种花色的数字 \(a\) 恰选二张:\(C_2^4\),而 \(4\) 种花色的数字 \(b\) 恰选二张:\(C_2^4\),

最后,从 \(4\) 种花色的数字 \(c\) 恰选一张:\(C_1^4\)。

如此,利用乘法原理可计算出所有的两对排型共有:\(C_2^{13}C_1^{11}C_2^{4}C_2^{4}C_1^{4}=123,552\) 种。

而其出现的机率为: \(\displaystyle\frac{C_2^{13}C_1^{11}C_2^{4}C_2^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。此值约为 \(0.04754\)。

8. 一对(one pair

所谓的三条指的是 \(5\) 张牌中,有两张数字相同,另三张皆不同。

例如:\(AAKQJ\)、\(99762\)、\(77KQ8\) 等皆是,亦即其牌型为 \(aabcd\)。

我们可以下述方式计算其组合数:先从 \(13\) 个数字中选出 \(1\) 个作为 \(a\),

再从其它 \(12\) 个数字中选出 \(3\) 个作为 \(b\)、\(c\) 与 \(d\)(这里请注意,\(bcd\) 不需考虑顺序,直接一次选取即可。否则若依序选完 \(a\),再选 \(b\),再选 \(c\),再选 \(d\),会发生重複的情况,例如 \(AAKQJ\) 与 \(AAQKJ\) 等)。

接着,\(4\) 种花色的数字 \(a\) 恰选二张:\(C_2^{4}\),而 \(4\) 种花色的数字 \(b\) 恰选一张:\(C_1^{4}\),

\(4\) 种花色的数字 \(c\) 恰选一张:\(C_1^{4}\),最后,\(4\) 种花色的数字 \(d\) 恰选一张:\(C_1^{4}\)。

如此,利用乘法原理可知,所有的一对共有:\(C_1^{13}C_3^{12}C_2^{4}C_1^{4}C_1^{4}C_1^{4}=1,098,240\) 种。

其出现的机率为:\(\displaystyle\frac{C_1^{13}C_3^{12}C_2^{4}C_1^{4}C_1^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。此值约为 \(0.42257\)。

9. 其它

即非上述 \(8\) 类的牌型,它的组合数为全部的种数 \(C_5^{52}\) 减去前八类的组合数。其机率亦为 \(1\) 减去前 \(8\) 类的机率总和。

最后,表一中笔者实际计算并整理了各牌型的组合数与机率,方便读者进一步比较。由此亦可看出为何各类各牌型的大小关係需依如此规定。其中,可看出 \(C_5^{52}\) 种可能性中,绝大部份皆为一对或是其它类,光是拿到这两类牌型的机率加起来就已经超过九成。而拿到顺的机率则和一张发票中六奖 \(200\) 元的机率差不多;拿到铁只的机率和一张发票中五奖 \(1000\) 元的机率差不多。而同花顺最为稀少,拿到的机率仅为百万分之十五。

扑克牌游戏与机率(二)

表一 各牌型的组合数与机率值表